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《微分方程数值解（第二版）》共9章，内容涉及常微分方程初值问题的数值方法、偏微分方程(包括椭圆型方程、抛物型方程及双曲型方程)的有限差分方法、分数阶微分方程数值方法、谱方法和有限元方法。《微分方程数值解（第二版）》内容全面，由浅入深，注重理论与数值实例相结合，着重培养学生掌握基本的数值格式，并能对模型问题进行数值模拟和对数值结果进行一定的分析，培养学生的动手能力。

目录前言版前言 第1章 常微分方程数值解 1 1.1 常微分方程初值问题的理论基础 1 1.2 Euler方法 3 1.2.1 显式Euler方法 3 1.2.2 隐式Euler方法 4 1.3 梯形方法 8 1.4 Runge-Kutta方法 9 1.4.1 Runge-Kutta方法简介 9 1.4.2 Runge-Kutta方法的构造 11 1.5 单步法的收敛性与相容性 16 1.5.1 单步法的收敛性 16 1.5.2 单步法的相容性 18 1.6 一般线性多步法 19 1.6.1 待定系数法 20 1.6.2 数值积分法 21 1.7 一般线性多步法的收敛性和稳定性 24 1.7.1 线性差分方程的基本性质 24 1.7.2 收敛性和稳定性 26 习题1 29 第2章 椭圆型方程的有限差分方法 31 2.1 五点差分格式 31 2.1.1 差分格式的建立 32 2.1.2 差分格式解的存在性 34 2.1.3 差分格式的求解 36 2.1.4 差分格式解的收敛性和稳定性 37 2.1.5 数值计算与Matlab模拟 40 2.2 边界条件离散化 442.2.1 矩形区域 44 2.2.2 一般区域 44 2.3 先验估计 46 习题2 49 第3章 抛物型方程的有限差分方法 52 3.1 扩散方程 52 3.1.1 定解区域的离散 53 3.1.2 差分格式 53 3.1.3 显式差分格式和隐式差分格式 55 3.1.4 Richardson差分格式 56 3.1.5 Richardson差分格式的不稳定性 57 3.1.6 Grank-Nicolson格式 58 3.2 收敛性与稳定性 58 3.2.1 截断误差 59 3.2.2 差分格式的收敛性 60 3.2.3 差分格式的稳定性 62 3.2.4 差分格式稳定性的方法 63 3.3 数值模拟 65 习题3 67 第4章 双曲型方程的有限差分方法 68 4.1 引言 68 4.2 波动方程的差分格式 72 4.2.1 波动方程显式差分格式的建立 73 4.2.2 波动方程隐式差分格式的建立 75 4.3 数值模拟 79 4.4 一阶双曲方程 80 4.4.1 迎风格式 81 4.4.2 积分守恒的差分格式 82 4.4.3 数值模拟 86 习题4 87 第5章 分数阶微积分的相关概念及算法 89 5.1 分数阶微积分的定义和性质 89 5.1.1 Grünwald-Letnikov(G-L)分数阶导数 89 5.1.2 Riemann-Liouville(R-L)分数阶积分和分数阶导数 91 5.1.3 Caputo分数阶导数 935.1.4 Riesz分数阶导数 93 5.1.5 几种分数阶导数的关系 94 5.1.6 分数阶导数的性质 95 5.2 分数阶微积分的数值算法 95 5.2.1 Riemann-Liouville分数阶导数的G-L逼近 95 5.2.2 Caputo分数阶导数的L-算法 97 5.2.3 Riemann-Liouville分数阶积分的数值逼近 103 5.3 经典整数阶数值微分、积分公式的推广 106 5.3.1 经典向后差商及中心差商格式的推广 106 5.3.2 插值型数值积分公式的推广 108 5.3.3 经典线性多步法的推广:Lubich(鲁必切)分数阶线性多步法 109 习题5 112 第6章 分数阶常微分方程的数值方法 113 6.1 直接法 114 6.2 间接法 119 6.2.1 R算法 119 6.2.2 分数阶预估-校正方法 119 习题6 122 第7章 分数阶偏微分方程的数值方法 124 7.1 空间分数阶对流-扩散方程 124 7.2 时间分数阶偏微分方程 128 7.2.1 差分格式 128 7.2.2 稳定性分析(Fourier-von Neumann方法) 129 7.2.3 误差分析 130 7.3 时间–空间分数阶偏微分方程 132 7.3.1 差分格式 132 7.3.2 稳定性及收敛性分析 134 习题7 136 第8章 谱方法 138 8.1 Fourier谱方法 138 8.1.1 指数正交多项式 138 8.1.2 一阶波动方程的Fourier谱方法 139 8.2 Chebyshev谱方法 141 8.2.1 Chebyshev多项式 141 8.2.2 Gauss型积分的节点和权函数 1428.2.3 数值分析 142 8.2.4 数值模拟 144 8.3 热传导方程的应用 145 8.3.1 模型的分析与建立 145 8.3.2 模型的改进 147 习题8 149 第9章 有限元方法 150 9.1 变分形式 150 9.1.1 Sobolev空间Hm(I) 150 9.1.2 a(u，v)基本性质 153 9.2 有限元法 156 9.2.1 Ritz-Galerkin法 156 9.2.2 有限元法构造 158 9.3 有限元法的误差估计161 9.3.1 H1估计 161 9.3.2 L2估计 162 9.4 二次元 164 9.4.1 单元插值函数 164 9.4.2 有限元方程的形成 167 9.5 椭圆型方程边值问题的有限元法 168 9.5.1 变分原理 168 9.5.2 Ritz-Galerkin方法 170 9.5.3 有限元法 170 9.6 抛物型方程初边值问题的有限元法 174 习题9 179 参考文献 181

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