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本书介绍离散数学的知识和应用。全书分为七章，分别为命题逻辑、谓词逻辑、集合论、二元关系、图论、初等数论和代数系统。《BR》　　本书用较大的篇幅介绍了离散数学知识在现代通信中的应用，包括公钥密码体制RSA解决方案、计算机大整数加法、编码和纠错方案等，这些应用都有详细的背景知识介绍，相应的结论也有详细的证明过程。

目录

第1章 命题逻辑 1

1.1 命题和联结词 1

1.1.1 命题 1

1.1.2 命题联结词 2

1.1.3 命题表达式 6

1.1.4 真值表的构造 6

1.1.5 命题符号化 7

1.2 重言式 8

1.2.1 命题公式分类 8

1.2.2 性质 9

1.2.3 逻辑等价 9

1.2.4 代入规则与替换规则 11

1.2.5 对偶原理 13

1.3 公式中的范式 15

1.3.1 析取范式和合取范式 15

1.3.2 主析取范式 17

1.3.3 主合取范式 21

1.4 命题联结词的扩充与归约 24

1.4.1 命题联结词的扩充 24

1.4.2 命题联结词的归约 25

1.5 基于命题的推理 26

1.5.1 基于真值表的推理 27

1.5.2 基于推理规则的推理 28

1.5.3 应用实例 28

1.6 习题 31

第2章 谓词逻辑 34

2.1 谓词公式 34

2.1.1 个体词 34

2.1.2 谓词 34

2.1.3 量词 35

2.1.4 命题符号化 35

2.1.5 项 36

2.2 约束 36

2.2.1 约束部分 37

2.2.2 换名规则和代替规则 37

2.2.3 公式的解释 38

2.3 谓词公式中的永真式 38

2.3.1 谓词公式的等价 38

2.3.2 谓词公式的类型 39

2.4 谓词公式中的范式 40

2.5 谓词推理 40

2.5.1 推理规则 41

2.5.2 举例 42

2.6 习题 42

第3章 集合论 44

3.1 基本概念 44

3.1.1 集合的概念 44

3.1.2 集合的表示方法 44

3.1.3 元素与集合 45

3.2 集合间的关系 46

3.3 集合的运算 48

3.3.1 集合的基本运算 48

3.3.2 集合的运算律 50

3.3.3 例题 52

3.4 包含排斥原理 53

3.5 幂集合与笛卡儿积 56

3.5.1 幂集合 56

3.5.2 笛卡儿积 57

3.6 习题 59

第4章 二元关系 62

4.1 基本概念 62

4.1.1 二元关系的定义 62

4.1.2 关系的表示 64

4.2 关系的运算 64

4.2.1 关系的并、交、补、差、对称差运算 64

4.2.2 关系的复合运算 65

4.2.3 关系的逆运算 67

4.3 关系的性质 68

4.3.1 关系性质的概念 68

4.3.2 关系性质举例 69

4.3.3 关系性质在关系图及关系矩阵中的特征 70

4.4 关系的闭包 70

4.4.1 闭包的定义 70

4.4.2 关系R的闭包求法 71

4.4.3 传递闭包的Warshall算法 73

4.4.4 闭包的复合 74

4.5 集合的划分和覆盖 76

4.6 等价关系与等价类 77

4.7 函数 80

4.7.1 函数的概念 80

4.7.2 逆函数与复合函数 82

4.8 习题 84

第5章 图论 88

5.1 若干图论经典问题 88

5.1.1 哥尼斯堡七桥问题 88

5.1.2 四色问题和哈密顿环游世界问题 89

5.1.3 平面图和印刷电路板的设计 89

5.1.4 运输网络 90

5.1.5 通信网络 90

5.1.6 二叉树的应用 91

5.1.7 *短路问题 91

5.2 图的基本概念及矩阵表示方法 91

5.2.1 图的基本概念 91

5.2.2 图的矩阵表示方法 96

5.3 路与连通度 98

5.4 欧拉图与哈密顿图 104

5.5 二部图与匹配 105

5.6 平面图 107

5.6.1 平面图及其性质 107

5.6.2 平面图着色 110

5.7 树 112

5.7.1 树及其性质 112

5.7.2 *小生成树 114

5.7.3 有向树 115

5.8 习题 120

第6章 初等数论 123

6.1 整数和除法 123

6.2 整数 123

6.3 素数 125

6.4 **公约数和*小公倍数 126

6.4.1 **公约数和*小公倍数的定义 126

6.4.2 **公约数和*小公倍数的求法 129

6.5 同余 130

6.6 剩余系 131

6.6.1 完全剩余系 131

6.6.2 既约剩余系、欧拉函数和欧拉定理 132

6.7 欧拉函数的计算 134

6.8 一次同余方程 137

6.8.1 一次同余方程的概念 137

6.8.2 一次同余方程的解 137

6.9 剩余定理 139

6.9.1 一次同余方程组 139

6.9.2 剩余定理的计算机大整数加法 141

6.10 习题 142

第7章 代数系统 146

7.1 二元运算及性质 146

7.1.1 二元运算的定义 146

7.1.2 二元运算的性质 147

7.2 代数系统概述 151

7.2.1 代数系统的定义与实例 151

7.2.2 代数系统的同构与同态 152

7.3 半群 156

7.3.1 半群的定义 156

7.3.2 单位元和逆元 157

7.4 群 160

7.4.1 群的定义 161

7.4.2 群的同态 164

7.4.3 循环群 167

7.4.4 变换群 170

7.4.5 置换群 172

7.4.6 子群 176

7.4.7 子群的陪集 180

7.4.8 不变子群和商群 183

7.5 群在密码学中的应用 184

7.5.1 两个特殊的群Zn和Zn* 184

7.5.2 Zn*和欧拉定理 186

7.5.3 基于Zn*的公钥密码系统RSA 187

7.6 环 188

7.6.1 环的定义 189

7.6.2 子环 191

7.6.3 理想子环 191

7.7 域 193

7.7.1 域的定义 193

7.7.2 子域 193

7.7.3 域的特征 194

7.7.4 域上的多项式环 195

7.7.5 域上多项式的带余除法 196

7.7.6 **公因式和**公倍式 197

7.7.7 不可约多项式 198

7.7.8 多项式的重因式 200

7.7.9 多项式的根 201

7.7.10 多项式环的理想与商环 201

7.8 环与域在编码纠错理论中的应用 207

7.8.1 通信系统的基本模型 207

7.8.2 编码理论的基本知识 208

7.8.3 线性分组码的编码与译码方案 215

7.8.4 线性分组码的译码效率 223

7.8.5 循环码的编码与译码方案 224

7.8.6 循环码的译码效率 234

7.9 习题 236

参考文献 240

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