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为降低线性代数这门数学的分支学科的学习难度，让有需要的读者饶有兴趣地学习，本书认为用空间思维来学习数学是*好的做法。全书坚持“三用”的特点，即用图形来表达、用表格来总结、用练习来巩固。全书内容共10章，分为3个学习阶段。第1阶段（回顾知识并打下空间思维的基础）包括函数、向量；第2阶段（理解计算并在空间中变换）包括行列式、矩阵及其运算、几个特殊的矩阵、线性方程组；第3阶段（加深认识并在空间中思考）包括基底与变换、向量的投影、相似变换与相似矩阵、矩阵的分解。全书内容建议读者在脑海里思考空间的架构、空间中的各种变换，从而可以轻松地学习线性代数的知识。

本书适合线性代数的初学者、成人自学者、大学本专科学生、研究生使用，也可作为工程技术人员的参考用书。

前言

第1章  函数

1.1  函数和反函数的表达  1

1.1.1  函数的表达  1

1.1.2  反函数的表达  3

1.2  常用的函数及其图形  5

1.2.1  幂次函数  5

1.2.2  指数函数  9

1.2.3  对数函数  10

1.2.4  三角函数  12

1.3  小结  22

第2章  向量

2.1  向量的基本概念  23

2.1.1  向量的表示  23

2.1.2  向量的模  24

2.1.3  向量空间  25

2.1.4  单位向量和零向量  26

2.2  向量的简单运算  26

2.2.1  向量的数乘  26

2.2.2  向量的加法  27

2.2.3  向量的减法  28

2.3  向量的点积运算  30

2.3.1  向量点积的计算  30

2.3.2  向量点积的几何意义  31

2.3.3  向量点积的用处  33

2.4  向量的叉积运算  34

2.4.1  向量叉积的计算  34

2.4.2  向量叉积的几何意义  36

2.4.3  向量叉积的用处  38

2.5  小结  42

第3章  行列式

3.1  行列式的表示和简便计算法  43

3.1.1  行列式的表示  43

3.1.2  简便计算法  44

3.2  行列式的性质  45

3.2.1  单位矩阵的行列式  45

3.2.2  一行（或列）为0的行列式  46

3.2.3  某两行（或列）成比例的行列式  46

3.2.4  行列式中的某两行（或列）互换  47

3.2.5  数乘行列式  48

3.2.6  行列式的某行（或列）倍加另一行（或列）  48

3.2.7  只有某行（或列）不同的两个行列式相加  49

3.2.8  上三角矩阵的行列式  51

3.3  用其他方法计算行列式  52

3.3.1  用代数余子式计算行列式  52

3.3.2  用消元法计算行列式  54

3.4  小结  55

第4章  矩阵及其运算

4.1  理解矩阵  57

4.1.1  矩阵的表示  57

4.1.2  矩阵的用处  58

4.2  矩阵的运算  58

4.2.1  矩阵的加法  58

4.2.2  矩阵的减法  59

4.2.3  矩阵的数乘  59

4.2.4  矩阵的乘法  59

4.2.5  矩阵的转置  63

4.3  从几何意义上理解矩阵的运算  66

4.3.1  构成矩阵的向量  66

4.3.2  从几何意义来理解加法  70

4.3.3  从几何意义来理解减法  71

4.3.4  从几何意义来理解数乘  72

4.3.5  从几何意义来理解乘法  72

4.3.6  从几何意义来理解线性组合  75

4.3.7  从几何意义来理解转置  77

4.4  小结  77

第5章  几个特殊的矩阵

5.1  单位矩阵  79

5.1.1  单位矩阵的表示  79

5.1.2  单位矩阵的特性  80

5.2  对称矩阵  81

5.2.1  对称矩阵的定义  81

5.2.2  对称矩阵的特性  81

5.3  逆矩阵  83

5.3.1  逆矩阵的定义  83

5.3.2  逆矩阵的特性  83

5.3.3  求逆矩阵  83

5.4  矩阵的初等变换  86

5.4.1  数乘矩阵中的某个行（或列）向量  86

5.4.2  某行（或列）向量数乘后加到另一行（或列）向量  90

5.4.3  两行（或列）向量互换  93

5.4.4  连续初等变换  96

5.5  行阶梯矩阵与矩阵的秩  98

5.5.1  行阶梯矩阵  98

5.5.2  矩阵的秩与线性相关  99

5.5.3  满秩矩阵与奇异矩阵  102

5.6  小结  103

第6章  线性方程组

6.1  线性方程组的表示  104

6.1.1  常见的形式  104

6.1.2  用矩阵和向量来表示  105

6.2  求解线性方程组的方法  105

6.2.1  矩阵向量法  106

6.2.2  消元法  107

6.2.3  用消元法求逆矩阵  108

6.2.4  从几何意义上理解线性方程组的解  109

6.2.5  齐次线性方程组  111

6.2.6  解的情况总结  111

6.3  有无穷个解时的解空间  112

6.3.1  齐次线性方程组的无穷个解  112

6.3.2  非齐次线性方程组的无穷个解  117

6.4  小结  122

第7章  基底与变换

7.1  几何空间的基底  123

7.1.1  理解基底  123

7.1.2  理解基底的变换  126

7.1.3  用空间图形理解变换  129

7.1.4  对线性变换的总结  138

7.2  向量空间  140

7.2.1  向量空间的定义  140

7.2.2  子空间  140

7.2.3  列空间  141

7.2.4  零空间  141

7.2.5  行空间  142

7.2.6  左零空间  142

7.2.7  对各种子空间的总结  142

7.3  用空间思维理解线性方程组的解  146

7.3.1  齐次线性方程组的解  146

7.3.2  非齐次线性方程组的解  152

7.4  小结  155

第8章  向量的投影

8.1  向量之间的投影  156

8.1.1  从图形上理解向量之间的投影  156

8.1.2  计算向量之间的投影  157

◎8.1.3  计算公式的证明  159

8.2  向量对子空间的投影  161

8.2.1  从图形上理解向量对平面的投影  161

8.2.2  计算向量对平面的投影  162

◎8.2.3  计算公式的证明  163

8.2.4  计算向量对子空间的投影  165

8.3  正交化  165

8.3.1  标准正交向量  165

8.3.2  简化计算公式  166

8.3.3  找到一组标准正交向量  167

8.4  方程组无解就求近似解  173

8.4.1  子空间的互补和正交关系  173

8.4.2  求方程组的近似解  174

8.5  用投影的空间思维做线性拟合  178

8.5.1  线性拟合  178

8.5.2  认识误差  180

8.6  小结  181

第9章  相似变换与相似矩阵

9.1  相似变换  183

9.1.1  向量在不同空间中的坐标  183

9.1.2  理解相似变换和相似矩阵  185

9.2  对角矩阵  189

9.2.1  为什么要用对角矩阵  189

9.2.2  构造出对角矩阵  190

9.2.3  特征值和特征向量  191

9.3  小结  193

第10章  矩阵的分解

10.1  对称矩阵  194

10.1.1  对称矩阵的一个重要性质  194

10.1.2  对称矩阵的秩  195

10.1.3  对称矩阵的正定性  195

10.1.4  对称矩阵的特征值  196

10.2  协方差矩阵与特征值分解  200

10.2.1  理解协方差  200

10.2.2  构建协方差矩阵  202

10.2.3  用协方差矩阵和特征值分解做数据降维  203

10.3  奇异值分解  207

10.3.1  空间变换的相等关系  207

10.3.2  奇异值分解的通用形式  209

10.3.3  用奇异值分解压缩数据  209

10.3.4  怎么求得U、V和∑  210

10.4  小结  213

练习参考答案  214

第1章  函数  214

第2章  向量  215

第3章  行列式  215

第4章  矩阵及其运算  216

第5章  几个特殊的矩阵  217

第6章  线性方程组  219

第7章  基底与变换  221

第8章  向量的投影  225

第9章  相似变换与相似矩阵  226

第10章  矩阵的分解  227

参考文献  229

后记  230

邓子云：工学博士，三级教授，长沙商贸旅游职业技术学院湘商学院院长。致力于大数据技术及职业教育研究，主持过、省部级等各级纵向、横向科研课题40余项。喜欢将复杂的问题简单化，爱好图书创作，已出版有著作20余本，发表有学术论文110余篇。

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编辑推荐

本书特色：

空间思维，构建感性认知基础

丰幅插图，有效激发学习兴趣

智取晦涩枯燥的定义、定理、符号

感性引领，理性深入，向量、行列式、矩阵手到擒来

前言

我从事计算机软件开发、大数据技术的研究十几年了，通过与很多朋友的交流及自身的不断学习发现，做研究、做开发所有的底层实现还是数学，于是我经常回翻攻读本硕博时的数学教材。尽管自认为数学底子尚可，还能看懂满板符号的高等数学图书，但是，要处理的工作与琐事繁多，想要连续一段时间静心深入学习数学也怕是没那么容易，时间只能以碎片化的形式利用起来。目前，市面上很难看到让人学习起来饶有兴趣的数学图书，这让我产生了写作本书的想法。

怎么才能让人对数学感兴趣呢？怎么才能让满板的符号变成好理解、易学懂的知识呢？我认为用空间思维来学习数学是好的做法。在脑海中建立起数学知识的图像、多维空间，可以让知识点形象地展现出来，以便更好地理解，而不必死记。

为了让学习线性代数者可以较好地掌握这门学科，本书写作时坚持了以下“三用”的特点：

（1）用图形来表达。空间思维上的一些思考可以借助图形的方式来表达。为此，我使用了Python编程语言和Visio这两个工具（通读本书无需您掌握这两个工具，但如果您对编程和作图感兴趣，可以和我一起交流探讨），将线性代数的知识用图形的方式表达出来。

（2）用表格来总结。在每一章的小结部分，用表格的形式对该章的核心知识点进行梳理。为了便于读者理解，有的配备了一句话口诀，有的配备了在空间思维上的说明。

（3）用练习来巩固。讲解完知识点后，马上就配备例子说明，再给出练习题，并可在书中直接作答，而不必等课后再进行练习。

学习线性代数有一个突出的问题：看到满板的符号、公式就紧张。其实，不必回避这些符号，而是要形象地理解、学会用这些符号，深入学习后，就能灵活运用各种数学符号。书中带有符号“◎”的内容为选学内容，不要求掌握。

全书内容共10章，分为3个学习阶段。

第1阶段：回顾知识并打下空间思维的基础。第1～2章用来回顾和总结初中、高中为基础的数学知识，并用图表结合的方式帮助读者建立空间思维的基础。

第2阶段：理解计算并在空间中变换。第3～6章从空间思维的角度来看待线性代数里的计算，解线性方程组时也注重从空间变换的角度来求解问题。

第3阶段：加深认识并在空间中思考。第7～10章是初学者学习线性代数相对高级的内容。本书认为基底是线性代数这门学科里建立空间思维的框架，矩阵的运算就是在空间里作投影变换、作线性变换，矩阵分解的目的是将复杂的问题简单化。

由于线性代数这门学科涵盖的内容十分广泛，一本书难以全面覆盖所有的知识点，所以本书的内容没有涉及较为高阶的线性代数知识。但是，学完本书，读者应当能对线性代数的许多知识点有着更为形象而且深刻的认识，能借助空间思维的力量来思考问题。以后再学习更为高阶的知识或开展行业领域的数学应用将会变得更为轻松。

感谢中国水利水电出版社万水分社的周春元副总经理，在我创作本书的过程中，他提出了很多宝贵的建议。感谢我的夫人黄婧女士，为我的创作提供了宽松的家庭环境，否则本书也难以成稿。

本书还受到了湖南省科技创新计划资助（项目编号：2020RC4025），在此一并表示感谢。

由于本人水平有限，书中疏漏之处在所难免，恳请广大读者批评、指正。

作  者